Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções - Vestibular1

Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções

Revisão de Matemática: Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções

 

Matemática: Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções

 

Revisão de Matemática: Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções

 

Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções: Sobrejetora, Injetora e Bijetora
1 – Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas

Solução:

Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) .
Logo, podemos concluir que:

• f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
• g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
• h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
2 – Seja f uma função definida em R — conjunto dos números reais —  tal que f(x – 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:

Vamos fazer uma mudança de variável em f(x – 5) = 4x, da seguinte forma: x – 5 = u ∴ x = u + 5

Substituindo agora (x – 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem: f(u) = 4(u + 5) ∴ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: f(x + 5) = 4(x+5) + 20 ∴ f(x+5) = 4x + 40

 

3 – A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).

f(2.x) = 3.x + 1, fazemos: 2x = t → x = t/2
Assim f(t) = 3x + 1 → f ( t ) = 3.( t/2 ) + 1.

Substituindo agora t por 3.x + 1, temos: f (3x + 1) = [3.(3x + 1)/2 ] + 1.

Desenvolvendo, f(3x +1) = [(9x + 3)/2] + 1.

Reduzindo ao mesmo denominador: f(3x + 1) = ( 9x + 3 + 2) / 2 ou: f(3x + 1) = (9x + 5)/2.

O exercício pede o valor de 2f(3x + 1) = 2.[(9x + 5)/2] → 2f(3x + 1) = 9x + 5 
Resposta: 9x + 5
Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções: Par, Ímpar e Inversa

A função f: R → R, definida por f(x) = x2:
a) é inversível e sua inversa é f-1 (x) = √x
b) é inversível e sua inversa é f-1(x) = -√x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
Solução:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R — conjunto dos números reais — não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo: f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em consequência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R+ dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.

 

Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções: Composta
1 – Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 – c) = d(1 – a)
b) a(1 – b) = d(1 – c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc

Solução:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b ∴ fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d ∴ gof(x) = cax + cb + d

Como o exercício exige que gof = fog, fica: acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad – d = cb – b \ d(a – 1) = b(c – 1), que é equivalente a d(a – 1) = b(c – 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A.
2 – Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 – x então f(x) é:
a) 2 – 2x
b) 3 – 3x
c) 2x – 5
*d) 5 – 2x
e) uma função par.

Solução:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 – x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 – x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 – u.

Substituindo, fica: f(u) = 2(2 – u) + 1 \ f(u) = 5 – 2u
Portanto, f(x) = 5 – 2x, o que nos leva à alternativa D.

3 – Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x – 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1

Solução:

gof(x) = 2(4x + 5) – 5k, lembre que x é substituído por f(x).
gof(x) = 8x + 10 – 5k

fog(x) = 4(2x – 5k) + 5
fog(x) = 8x – 20k + 5. Agora igualando as funções compostas:

8x – 20k +5 = 8x + 10 – 5k
-20k + 5k = 8x – 8x +10 – 5
-15k = 5
k = 5/-15 (dividindo numerador e denominador por -5):
Portanto k = -1/3, então a resposta é a letra A.

Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções: Constante e Primeiro Grau
1 – Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

Solução:
Podemos escrever:
5 = 2a + b
-10 = 3a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 – (-10) = 2.a + b – (3.a + b)
15 = – a ∴ a = – 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b ∴ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = -15x + 35.

 

2 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3

Solução:
f(-1) = a(-1) + b = -a + b = 3
f(3) = a(3) + b = 3a + b = 1

Temos o sistema:
-a + b = 3
3a + b = 1 (multiplicando por -1) -3a – b = -1

Fazemos a adição:
-a + b = 3
-3a – b = -1
————-
-4a = 2
a = 2/(-4)
a = -1/2

então:
-a + b = 3
-(-1/2) + b = 3
1/2 + b = 3
b = 3 – 1/2
b = (6 -1)/2
b = 5/2

logo, a função será:
f(x) = (-1/2)x + 5/2
f(x) = -x/2 + 5/2

Finalmente: f(1) = -1/2 + 5/2 = 4/2 = 2
A resposta é a letra  A.

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