Fatoração - Vestibular1

Fatoração

Revisão de Matemática: Fatoração

 

Matemática: Fatoração

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Fatoração

Revisão de Matemática: Fatoração

 

Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
ax + ay  » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada
Exs : Fatore:
a) bx + by – bz = b.(x+y-z)
b) 2x2 – 4xy = 2x.(x – 2y)
c) 12ax2z + 24axz2 – 12a2xz = 12axz.(x + 2z – a)
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e) x3 + 2x2 – x = x.(x2 + 2x – 1)

2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

(x+y).(a+b)
Ou seja:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Ex: Fatore:
a) x2 – 3x + ax – 3a = x.(x – 3) + a(x – 3) = (x – 3).(x + a)
x é fator    a é fator    (x-3) é fator comum     Forma fatorada
comum      comum
b) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 = b2(2 + a) + c3(2 + a) = (2 + a).(b2 + c3)
b2 é fator c3 é fator   (2+a) é fator comum   Forma fatorada
comum        comum

3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim:     x2 – 9 = (x + 3).(x – 3)
Exs: Fatore:
a) a2 – b2 = (a + b).(a – b)
b) 16a2 – 1 = (4a + 1).(4a – 1)
c) 1 – 16x4 = (1 + 4x2).(1 – 4x2) = (1 + 4x2).(1 + 2x).(1 – 2x)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2 ) e ( a2 – 2ab + b2) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 =  a2 – 2ab + b2


note que é igual ao segundo termo de  4x2 – 12xy + 9y2
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
4×2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2 » forma fatorada
|____________|
Sinal
Logo:    4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 » forma fatorada
|_____________|
Sinal

Exs:
a) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2
b) 16x2 + 24xy + 9y2 = (4x + 3y)2
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:
a) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2
b) 25a4 – 100b2 = 25.(a4 – b2) = 25(a2 + b).(a2 – b)

Revisão de Matemática: Fatoração

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