Função do primeiro grau - Vestibular1

Função do primeiro grau

Revisão de Matemática: Função do primeiro grau

 

Função do primeiro grau

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos

Revisão de Matemática: Função do primeiro grau

Vamos iniciar o estudo da função do primeiro grau, lembrando o que é uma correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor.

Assim . A correspondência por pares ordenados seria: 

Noções de função:
Considere os diagramas abaixo:

1

2

3

4

4

Condições de existência:
(1) Todos os elementos de x
tem um correspondente em y.
(2) Cada elemento de x tem um
e somente um correspondente
em y.

Analisemos os diagramas acima:
– Somente os diagrama 1,3 e 4 satisfazem as condições acima.
– Os diagramas 2 só satisfaz a condição (1) e o diagrama 2 somente a condição (2).
– Logo, somente os diagramas 1,3 e 4 representam uma função.

 

Domínio, Contradomínio e Imagem

Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f é dado por:
Im(f)={2,3,4}

 

Determinação de função:

Observe:

1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4
Logo: Im(f)={2,3,4}

b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f)={1,9,25}

 

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do primeiro grau!

Revisão de Matemática: Função do primeiro grau

Exemplo:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x  »  50x=1000-500  »  50x=500  »  x=10

A relação assim definida por uma equação do primeiro grau é denominada função do primeiro grau, sendo dada por:

 com 

 

Gráfico da função do primeiro grau:

O gráfico de uma função do primeiro grau de R em R é uma reta.

Exemplo:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)
=x+1
-2   -1
-1 

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}:

 

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)
=-x+1
-2  3
-1 

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}:

 

 

Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
  Função crescente

y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
  Função decrescente

 

Raiz ou zero da função do primeiro grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do primeiro grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0  »  x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x + 1  »  x = 1
Gráfico:

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

 

Sinal de uma função de primeiro grau:

Observe os gráficos:

a>0
a<0

Note que para x = -b/a, f(x) = 0 (zero da função). Para x > -b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x < -b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0  »  x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0  »  x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0  »  -x>-1  »  x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0  »  -x<-1  »  x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1

(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)

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