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Limites 2 - Revisão de Matemática por Vestibular1

Revisão de Matemática: Limites 2

 

Matemática: Limites 2

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Limites 2

 

Propriedades operatórias dos limite.
P1 – o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função.
lim ( u + v + w + … ) = lim u + lim v + lim w + …
P2 – o limite de um produto é igual ao produto dos limites.
lim (u . v) = lim u . lim v
P3 – o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.
lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0.
P4 – sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito (+ ∞) e menos infinito (– ∞), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos + ∞ e – ∞, não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b ∈ R – conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+ ∞ ) = + ∞
b + ( – ∞ ) = – ∞
(+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞
(- ∞ ) + (- ∞ ) = – ∞
(+ ∞ ) + (- ∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ – ∞, é dito um símbolo de indeterminação.
(+ ∞ ) . (+ ∞ ) = + ∞
(+ ∞ ). 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:
∞ – ∞
∞ . 0
∞ / ∞
0
0 / 0
1∞
1 – ∞
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
…..x→ 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
…..x → +∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
…..x → 2
d) lim [(3x + 3) / (2x – 5)] = [(3 ∗ 4 + 3) / (2 ∗ 4 – 5)] = 5
…..x → 4
e) lim [(x + 3) (x – 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7 ∗ 1 = 7
…..x → 4

 

Limites Fundamentais
A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Apresentaremos a seguir – sem demonstrar – cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

Primeiro limite fundamental : O limite trigonométrico

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a
sen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica).
Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 ≈ 1.
Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função.
Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo:

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.
Segundo limite fundamental : Limite exponencial

Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é e ≈ 2,7182818.
Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo:

Terceiro limite fundamental : Consequência do anterior

Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo.
lim (1 + x)5/x = lim [(1 + x)1/x]5 = e5
x → 0 …………….x → 0
Quarto limite fundamental: outro limite exponencial

Para a > 0.


Quinto limite fundamental

 

Veja: Binomio de Newton

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