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Limites - Revisão de Matemática por Vestibular1

Revisão de Matemática: Limites

 

Matemática: Limites

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Limites

Revisão de Matemática: Limites

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares.
Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.
O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.

Outro aspecto importante a ser comentado, é que esta revisão de matemática: Limites abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: Derivadas.
O matemático francês – Augustin Louis CAUCHY – 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON – inglês – 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ – alemão – 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

Matemática: Limites  – Definição
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε, por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ, tal que para | x – x0 | < δ , se tenha |f(x) – L | < ε, para todo x ≠ x0.

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0, através da simbologia abaixo:
lim f(x) = L
x → x0
Exercício:
Prove, usando a definição de limite vista acima, que:
lim (x + 5) = 8
x → 3
Temos no caso:
f(x) = x + 5
x0 = 3
L = 8
Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que,
para |x – 3| < δ , se tenha |(x + 5) – 8| < ε. Ora, |(x + 5) – 8| < ε é equivalente a | x – 3 | < ε.
Portanto, a desigualdade |x – 3| < δ, é verificada, e neste caso δ = ε.
Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x → 3) .

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade.
Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na sequência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.
Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:
a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x → x0, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0, porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0.
Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x → 3.

Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 – 9 = (x + 3) (x – 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x → 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.
b) o limite de uma função y = f(x), quando x → x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0, ou seja , existindo f(x0).
c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite
de f(x) quando x → x0.
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0, e existir o limite da
função f(x) para x → x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a
função f(x) é Contínua no ponto x0.
e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0, ou x → x0.
Se x tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0, dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0, para valores imediatamente superiores a x0, dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x → x0.

 

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