Revisão de Matemática: Logaritmo e Função Logarítmica

 

Matemática: Logaritmo e Função Logarítmica

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Logaritmo e Função Logarítmica

Revisão de Matemática: Logaritmo e Função Logarítmica

 

Logaritmo e Função Logarítmica

Logaritmo

Definição: Dados dois números reais positivos y e a, com y > 0 e a ¹ 1 , chamamos de logaritmo de y na base a (log_ay) o expoente x ao qual devemos elevar a base a para obtermos o número y.

Obs.:
1) Condições de existência: a > 0; a¹ 1 e y > 0
2) a é chamado de base do logaritmo x é o logaritmo, y é o logaritmando ou antilogaritmo
Exemplos:
1)
2) 
3) 

Consequências da Definição e Propriedades de Logaritmo
Nunca se esqueça das condições de existência : base > 0 ; base ¹ 1 e logaritmando >0
Considere abaixo definidas estas três condições.

a) 

b)  (quando não vier indicada será base 10.)

c) 

d) 

e) 

f) 

 

Obs.: Existe uma tabela de logaritmos de base 10, foi construída por Briggs.
Log 2 = 0,30103 , log 3 = 0,47712 , etc…..

Porém, se desejamos calcular  log₄3  deveremos fazer uma mudança de base, ou seja, utilizamos uma propriedade para fazer este cálculo, pois a tabela de logaritmo está na base 10.

Mudança de base: log_ay passando para base m teremos: 

Ex.: 

 

Função Logarítmica

Definição: Dado um número real a, a > 0 e a¹ 1, chamamos função logarítmica de base a a função f de  R₊ em R que associa a cada x o número log_ax.

Escrevemos então :

Propriedades
a) Dada a função f (x) = log_ax , a > 0 e a ¹1 de  → R , chama-se inversa de f a função g(x), de R →  , dada por g(x) = a^x.
b) A função f(x) = log_ax, x  ∈ , é crescente a / 0 < a < 1.

 

Conjunto Imagem

Como a > 0 e a ¹1, a função f de   → R , definida por f(x) = log_ax, admite a função inversa g, de R →   definida por g(x) = a^x. Temos então que f é bijetora e portanto o seu conjunto imagem é o conjunto dos números reais, isto é ,R.

 

Gráficos

O gráfico da função f(x) = log_ax, a > 0 e a¹ 1 pode ser :
a) Quando a base a > 1 ( Função Crescente )

b) Quando a base 0 < a < 1 ( Função Decrescente )

Observação: Logaritmo Neperiano f(x) = ln x (ln logaritmo Neperiano) Base e (valor aproximado de e 2,7182 ….).

 

Função Logarítmica

Logaritmos
Definição: log_ba = c ⇔ b^c = a, com a > 0 e 1 b>0. Onde a é o logaritmando ou antilogaritmo, b é a base e c é o logaritmo.

Consequências da definição:
• log_a1 = 0
• log_aa = 1
• log _a^an = n
• a^log_ab = b
• log_ba = log_bc ⇔ a = c

Propriedades operatórias:
• log_a(M . N) = log_aM + log_aN
• log_a(M / N) = log_aM – log_na
• log_aMN = N . log_aM
• Cologaritmo: log_a1/b = – log_ab = colog_ab
• Mudança de base: log_ab = log_cb / log_ca → log_ab . log_ca = log_cb → log_ab = 1 / log_ba

 

Função logarítmica

Toda função f: R → R definida por f (x) = log_ax, com a E R, 0 < a 1 e x E R, é denominada função exponencial de base a.
Domínio: f(x) = log_ax, pela definição temos: x > 0, a > 0 e a 1

Equação logarítmica

Resolução de uma equação: Observar a condição de existência (CE); Efetuar a logaritmação – passar para forma exponencial: Log_ab = x → b = a^x

Estudo do sinal

Quando a > 1 → logax > 0 ⇔ x > 1	Quando 0 < a < 1 → logax < 0 ⇔ x > 1
logax = 0 ⇔ x = 1	logax = 0 ⇔ x = 1
logax < 0 ⇔ 0 < x <1	logax > 0 ⇔ 0 < x < 1

Inequação logarítmica

Para resolvermos uma inequação logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:
• Quando a > 1 → x₂ > x₁ ⇔ log_ax₂ > log_ax₁  (conserva o sentido da desigualdade)
• Quando 0 < a < 1 → x₂ > x₁ ⇔ log_ax₂ < log_ax₁ (inverte o sentido da desigualdade)

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