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Sistemas de Equações Revisão de Matemática Vestibular1

Revisão de Matemática: Sistemas de Equações

 

Matemática: Sistemas de Equações

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Sistemas de Equações

 

Revisão de Matemática: Sistemas de Equações

Sistemas de Equações

Noções:

A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.

Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
» soma de dois números é 12, ou seja:  x+y = 12 …I
» a diferença entre eles é 4, isto é :     x-y = 4 …..II

A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)

Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:

Método da adição:

» basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do primeiro grau com uma variável.
Ex: x + y = 12
x – y = 4

Notamos que as duas equações possuem termos opostos: (y e -y).
Com isso, basta somar as duas equações:

X + Y = 12
X – Y = 4
2X = 16
X  = 8

A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.

8+y=12 ou 8-y=4
y=12-8 -y=4-8
y=4 y=4

O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.

Outro exemplo:
2X + 3Y = 3 … I
4X + 6Y = 12.. II

» Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
Para isso, multiplicamos a equação I por -2:
-4X – 6Y = -6… I
4X + 6Y = 12… II
0X + 0Y = 6…. III
Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.
S= { }

 

Método da substituição:
» Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 … I
x-y=4 …. II
Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
x+y=12  »  x=12-y
Substituímos na outra equação:

(12-y) – y = 4
12-2y = 4
-2y = -8
y=4
Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

x+4=12   »  x=12-4  »  x=8
Logo a solução do sistema seria:
S = {(8,4)}
Ex:
3X + 4Y = 46 … I
2X – Y = 16 … II
Escolhemos a variável y da equação II:
Y = -16 + 2x … II
Substituindo na equação II :
3X + 4( -16 + 2X) = 46
3X – 64 + 8X = 46
11X = 46 + 64 = 110
X = 10

Substituindo o valor de x encontrado em II:
Y = -16 + 2.10 = 4
Logo a solução do sistema é :
S = {( 10,4 )}

 

Método da comparação:
» Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
x+2y=2     »   x=2-2y
x+y = 3     »   x=3-y

Comparando as duas equações:
2-2y=3-y
-2y+y=3-2
-y = 1
y = -1
Substituindo o valor de y encontrado:
x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4
Portando S= {(4,-1)}

Veja : Inequações

Revisão de Matemática: Sistemas de Equações

Publicado em:Matemática,Matérias,Revisão Online

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