Teoria das Funções 2 - Vestibular1

Teoria das Funções 2

Revisão de Matemática: Teoria das Funções 2

 

Matemática: Teoria das Funções 2

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Teoria das Funções 2

Revisão de Matemática: Teoria das Funções 2

 

Teoria das Funções 2

 

Função Inversa

Dada uma função f : A → B, se f é bijetora, então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A, tal que f -1(y) = x.
Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:
a) para obter a função inversa, basta permutar as variáveis x e y.
b) o domínio de f-1 é igual ao conjunto imagem de f.
c) o conjunto imagem de f-1 é igual ao domínio de f.
d) os gráficos de f e de f-1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja, à bissetriz do primeiro quadrante.

Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem: 2y = x – 3 ∴ y = (x – 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

 

Função Composta

Chama-se função composta (ou função de função) à função obtida substituindo-se a variável independente x, por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x))

Veja o esquema a seguir:

 

Obs.: atente para o fato de que fog ≠ gof, ou seja, a operação “composição de funções” não é comutativa.

Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ≠ gof.

 

Tipos particulares de funções

Função Constante

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x.
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3

Obs. : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x.
Veja o gráfico a seguir:

 

Função do 1º Grau
Uma função é dita do primeiro grau, quando é do tipo y = ax + b, onde a ≠ 0.

Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do primeiro grau:
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta
2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim.
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = – b/a.
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b é chamado coeficiente linear.
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta.
6) se a > 0, então f é crescente.
7) se a < 0, então f é decrescente.
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

 

Função do 2º Grau

Uma função é dita do segundo grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.

Exemplos: f(x) = x2 – 2x + 1 (a = 1, b =-2, c = 1) ;
y = – x2 (a = -1, b = 0, c = 0)
Gráfico da função do segundo grau y = ax2 + bx + c é sempre uma parábola de eixo vertical.

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c:
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo.
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
xv = – b/2a
yv = -Δ /4a, onde Δ = b2 – 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”, que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = -b/2a.
7) ymax = – Δ/ 4a ( a < 0 )
8) ymin = – Δ/4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y ∈ R ; y ³ – Δ/4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y ∈ R ; y £ -Δ/4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir: y = a(x – x1).(x – x2)

Agora veja Exercícios Resolvidos da Teoria das Funções

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