Menu fechado
Teoria dos Conjuntos Revisão de Matemática por Vestibular1

Revisão de Matemática: Teoria dos Conjuntos

Matemática: Teoria dos Conjuntos

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Teoria dos Conjuntos

Revisão de Matemática: Teoria dos Conjuntos

 

Teoria dos Conjuntos
1 – Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, …}.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = {x | x é par e positivo} = {2,4,6, …}.

1.1 – Relação de pertinência:
Sendo x um elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A, onde o símbolo significa “pertence a”.
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A, indicamos esse fato com a notação y ∉ A.

O conjunto que não possui elementos é denominado conjunto vazio e representado por .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos: ∅ = {x; x ≠ x} e U = {x; x = x}.
1.2 – Subconjunto:
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A ⊂ B.

Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. (A ⊂ A)
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (∅ ⊂ A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {∅, {c}, {d}, {c, d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

2 – Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,…}
Conjunto dos números inteiros: Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Obs.: é evidente que N ⊂ Z.

 

Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠ 0}.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333… = 1/3, 7 = 7/1, etc.

Notas:
a) é evidente que N ⊂ Z ⊂ Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444… = 4/9

Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
π = 3,1415926… (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001… (dízima não periódica)
√ 3 = 1,732050807… (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = {x; x é racional ou x é irracional}.

Notas:
a) é óbvio que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
b) I ⊂ R
c) I ∪ Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

3 – Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p – q, chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.

A tabela abaixo define os diversos tipos de intervalos.

Tipos Representação Observação
Intervalo Fechado [p;q] = {x ∈ R; p ≤ x ≤ q} inclui os limites p e q
Intervalo Aberto (p;q) = {x ∈ R; p < x < q} exclui os limites p e q
Intervalo Fechado à Esquerda [p;q) = {x ∈R; p ≤ x < q} inclui p e exclui q
Intervalo Fechado à Direita (p;q] = {x ∈ R; p < x ≤ q} exclui p e inclui q
Intervalo Semi-fechado [p;∞ ) = {x ∈ R; x ≥ p} valores maiores ou iguais a p
Intervalo Semi-fechado (- ∞; q] = { x ∈ R; x ≤ q} valores menores ou iguais a q
Intervalo Semi-aberto (-∞ ; q) = { x ∈ R; x < q} valores menores do que q
Intervalo Semi-aberto (p; ∞ ) = { x > p } valores maiores do que p

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -∞ ; + ∞ ).

 

4 – Operações com conjuntos

4.1 – União ( ∪ )
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A ∪ B = { x; x ∈ A ou x ∈ B}.
Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A ∪ A = A
b) A ∪ ∅ = A
c) A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A ∪ U = U, onde U é o conjunto universo.

Continue lendo e estudando a Revisão de Matemática: Teoria dos Conjuntos – parte DOIS

Revisão de Matemática: Teoria dos Conjuntos

Publicado em:Matemática,Matérias,Revisão Online

Você pode gostar também